Урок 7. Перевод чисел в родственных системах счисления

Дата проведения занятия 18.10.18, 19.10.18

Две системы счисления называются родственными, если основание одной системы счисления равно степени основания другой системы счисления.

Например, являются родственными следующие пары систем счисления: двоичная (основание — 2) и восьмеричная (основание — 8); двоичная и шестнадцатеричная.

Не являются родственными восьмеричная (основание — 8) и шестнадцатеричная (основание — 16) системы счисления.

Также не являются родственными двоичная и десятичная системы счисления.

Алгоритм перевода целых чисел из двоичной системы в систему счисления с основанием q=2ⁿ

1. Данное двоичное число разбить справа налево, начиная с младшего разряда, на группы по n цифр (разрядов) в каждой.
2. Если в самой левой группе окажется меньше, чем n разрядов, дополнить эту группу слева нулями до n разрядов.
3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2ⁿ

Алгоритм перевода дробных чисел из двоичной системы в систему счисления с основанием q=2ⁿ

1. Данное двоичное число разбить слева направо, начиная с первого дробного разряда, на группы по n цифр (разрядов) в каждой.
2. Если в самой правой группе окажется меньше, чем n разрядов, дополнить эту группу справа нулями до n разрядов.
3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2ⁿ

Алгоритм перевода смешанных чисел из двоичной системы в систему счисления с основанием q=2ⁿ

1. Целую часть данного двоичного числа разбить справа налево, начиная с младшего разряда, на группы по n цифр (разрядов) в каждой.
2. Дробную часть данного двоичного числа разбить слева направо, начиная с первого дробного разряда, на группы поn цифр (разрядов) в каждой.
3. Если в самой правой и самой левой группе окажется меньше, чем n разрядов, дополнить эти группы справа и слева нулями до n разрядов.
4. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2ⁿ

Алгоритм перевода смешанных чисел из системы счисления с основанием q=2ⁿ в двоичную систему счисления заключается в том, что каждую цифру этого числа следует заменить его n-разрядным двоичным эквивалентом.

Перевод чисел из восьмеричной в шестнадцатеричную систему счисления и обратно осуществляется через промежуточный перевод в двоичную систему счисления.

Примеры

Пример 1. Перевести число 1101011,10101₂ в восьмеричную систему счисления (q=2³)

При переводе в восьмеричную систему счисления разбиваем исходное число по 3 разряда - на триады

1. Целую часть данного двоичного числа разбить справа налево, начиная с младшего разряда, на триады.
2. Дробную часть данного двоичного числа разбить слева направо, начиная с первого дробного разряда, на триады.
3. В самой правой группе оказалось 2 разряда, значит, надо дополнить эту группу справа одной цифрой 0 (выделено полужирным)
4. В самой левой группе оказался 1 разряд, значит, надо дополнить эту группу слева двумя цифрами 0 (выделено полужирным).
5. Рассмотреть каждую триаду как 3-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием 8

Обращаем ваше внимание, что дополнение нулями левой (старшей) триады не повлияло на значение старшей триады.

А дополнение нулем правой (младшей) триады повлияло на значение младшей триады!

Итак, 1101011,10101₂ =153,52₈

0	0	1	1	0	1	0	1	1	,	1	0	1	0	1	0	2
		1			5			3	,			5			2	8

Пример 2. Перевести число 1101011,10101₂ в шестнадцатеричную систему счисления (q=2⁴)

При переводе в шестнадцатеричную систему счисления разбиваем исходное число по 4 разряда - на тетрады

1. Целую часть данного двоичного числа разбить справа налево, начиная с младшего разряда, на тетрады.
2. Дробную часть данного двоичного числа разбить слева направо, начиная с первого дробного разряда, на тетрады.
3. В самой правой группе оказался 1 разряд, значит, надо дополнить эту группу справа тремя цифрами 0 (выделено полужирным)
4. В самой левой группе оказалось 3 разряда, значит, надо дополнить эту группу слева одной цифрой 0 (выделено полужирным).
5. Рассмотреть каждую тетраду как 4-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием 16

Обращаем ваше внимание, что дополнение нулем левой (старшей) тетрады не повлияло на значение старшей тетрады.

А дополнение нулями правой (младшей) тетрады повлияло на значение младшей тетрады!

Итак, 1101011,10101₂ =6B,A8₁₆

0	1	1	0	1	0	1	1	,	1	0	1	0	1	0	0	0	2
			6				B	,				A				8	16

Пример 3. Перевести число 273,363₈ (q=2³) в двоичную систему счисления

Перевод заключается в том, что каждую цифру этого числа следует заменить его
3-разрядным двоичным эквивалентом, то есть двоичной триадой.

Итак, 273,363₈ =10111011,011110011₂ (Старший, лидирующий 0 можно опустить)

		2			7			3	,			3			6			3	8
0	1	0	1	1	1	0	1	1	,	0	1	1	1	1	0	0	1	1	2

Пример 4. Перевести число 3BA,24₁₆ (q=2⁴) в двоичную систему счисления

Перевод заключается в том, что каждую цифру этого числа следует заменить его 4-разрядным двоичным эквивалентом, то есть двоичной тетрадой.

Итак, 3BA,24₁₆=1110111010,001001₂ (Старшие и младшие 0 можно опустить)

			3				B				A	,				2				4	16
0	0	1	1	1	0	1	1	1	0	1	0	,	0	0	1	0	0	1	0	0	2

Практическое задание:

1. Решите несколько задач в различных системах счисления
2. Решите 3 викторины. Напишите учителю, чьи викторины вы прошли и сколько получили баллов. Обратите внимание, что в заданиях, которые в таблице отмечены минусами нет правильных ответов! 

Домашнее задание - выполнить письменно в тетради

  Переведите числа из одной системы счисления в другую:

1. Перевести 362₈ в двоичную систему счисления
2. Перевести 5,37₈ в двоичную систему счисления
3. Перевести AF2₁₆ в двоичную систему счисления
4. Перевести 4,E1₁₆ в двоичную систему счисления
5. Перевести 10100101₂ в восьмеричную систему счисления
6. Перевести 11,1001₂ в восьмеричную систему счисления
7. Перевести 10100101₂ в шестнадцатеричную систему счисления
8. Перевести 111,10011₂ в шестнадцатеричную систему счисления
9. Перевести С4,E1₁₆ в восьмеричную систему счисления
10. Перевести 65,37₈ в шестнадцатеричную систему счисления